Question

（1）設x＜y＜0，試比較（x²+y²）（x-y）與（x²-y²）•（x+y）的大小；
（2）已知a，b，c∈{正實數}，且a²+b²=c²，當n∈N，n＞2時，比較cⁿ與aⁿ+bⁿ的大小．

Answer 1

分析：（1）要求兩個數的大小關系，可以對這兩個數作差，通過分解因式判斷差與零的關系，移項后可以得到兩個式子的大小關系．
（2）本題需比較的式子是冪的形式，因此考慮用作商比較，首先作商，再用分子中的每一項除以分母，得到兩個式子的和的形式，根據a²+b²=c²，兩邊同除以c²，根據底數的范圍得到指數的大小，從而得到結果．

解答：解：（1）首先把兩個要比較的式子做差，
（x²+y²）（x-y）-（x²-y²）（x+y）
=（x-y）[x²+y²-（x-y）²]
=-2xy（x-y）
∵x＜y＜0
∴xy＞0，x-y＜0，
∴-2xy（x-y）＞0
（x²+y²）（x-y）＞（x²-y²）•（x+y）
（2）∵a，b，c∈{正實數}，
∴aⁿ，bⁿ，cⁿ＞0，

an+bn

cn

= (

a

c

)n +(

b

c

)n
∵a²+b²=c²，則(

a

c

)2+(

b

c

)2=1
∴0＜

a

c

＜1，0＜

b

c

＜1
∵n∈N，n＞2，
∴(

a

c

)n＜(

a

c

)2，(

b

c

)n＜(

b

c

)2，
∴

an+bn

cn

=(

a

c

)n+(

b

c

)n＜

a2+b2

c2

=1
∴cⁿ＞aⁿ+bⁿ

點評：本題考查不等式與不等關系，考查用比較法比較兩個式子的大小，若這兩個式子不知符號，一般要用做差法，若是冪的形式或因式的積的形式，一般采用作商法．