Question

（1）設x＜y＜0,試比較(x²+y²)(x-y)與(x²-y²)(x+y)的大小；

（2）已知a,b,c∈{正實數(shù)}，且a²+b²=c²,當n∈N,n＞2時比較cⁿ與aⁿ+bⁿ的大小.

Answer 1

（1）(x²+y²)(x-y)＞(x²-y²)(x+y)（2） aⁿ+bⁿ＜cⁿ

解析:

（1）方法一  （x²+y²）(x-y)-(x²-y²)(x+y)

=(x-y)［x²+y²-(x+y)²］=-2xy(x-y),

∵x＜y＜0,∴xy＞0,x-y＜0,

∴-2xy(x-y)＞0,

∴(x²+y²)(x-y)＞(x²-y²)(x+y).

方法二  ∵x＜y＜0,∴x-y＜0,x²＞y²,x+y＜0.

∴(x²+y²)(x-y)＜0,(x²-y²)(x+y)＜0,

∴0＜=＜1,

∴(x²+y²)(x-y)＞(x²-y²)(x+y).

(2)∵a,b,c∈{正實數(shù)}，∴aⁿ,bⁿ,cⁿ＞0,

而=+.

∵a²+b²=c²,則+=1,

∴0＜＜1,0＜＜1.

∵n∈N,n＞2,

∴＜,＜,

∴=+＜=1,

∴aⁿ+bⁿ＜cⁿ.