Question

已知f（x）=ax²+bx+c，f（0）=0，對任意實數x恒有f（1-x）=f（1+x）成立，方程f（x）=x有兩個相等實根．
（1）求f（x）；
（2）是否存在實數m，n，使得函數f（x）在區間[m，n]上的值域為[3m，3n]？為什么？

Answer 1

解：（1）∵f（1-x）=f（1+x），∴f（x）的對稱軸為x=1，
可得-=1即b=-2a．（*）
∵f（x）=x有兩相等實根，∴ax²+bx=x，即方程ax²+（b-1）x=0有兩相等實數根，
∴（b-1）²-4×a×0=0，解之得b=1，代入（*）得a=-，
∴函數的解析式為f（x）=-x²+x．
（2）由（1）得f（x）=-x²+x=-（x-1）²+≤，
若函數f（x）在區間[m，n]上的值域為[3m，3n]，可得3n≤，所以m＜n≤，
又∵函數的圖象是開口向下的拋物線，對稱軸為x=1，
∴f（x）在區間[m，n]上單調遞增，有f（m）=3m且f（n）=3n，
解之得m=0或m=-4，n=0或n=-4，
又∵m＜n，∴m=-4，n=0．
即存在實數m=-4、n=0，使得函數f（x）在區間[m，n]上的值域恰好為[3m，3n]．
分析：（1）根據f（1-x）=f（1+x）恒成立，得-=1即b=-2a．由方程f（x）=x有相等的實根，得到方程ax²+（b-1）x=0根的判別式為0．聯解可得a=-且b=1，得到函數的解析式；
（2）根據函數f（x）在區間[m，n]上的值域為[3m，3n]，得到3n小于或等于函數的在R上的最大值，從而得到m＜n≤，所以函數f（x）在區間[m，n]上單調遞增．由此建立m、n的方程組，解之即可得到存在實數m=-4、n=0，使得函數f（x）在區間[m，n]上的值域恰好為[3m，3n]．
點評：本題給出二次函數含有字母參數，求函數的解析式并討論函數在區間[m，n]上的值域能否為[3m，3n]．著重考查了二次函數的圖象與性質、函數解析式的求法和不等式的解法等知識，屬于中檔題．