Question

已知f（x）=ax²-blnx+2x（a＞0，b＞0）在區(qū)間(

1

2

，1)上不單調(diào)，則

3b-2

3a+2

的取值范圍是（　�。�

• A．[

  1

  2

  ，2]
• B．(

  1

  2

  ，2)
• C．(-

  1

  2

  ，+∞)
• D．（2，+∞）

Answer 1

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由原函數(shù)區(qū)間(

1

2

，1)上不單調(diào)，得到關(guān)于a，b的不等式組，作出可行域，然后利用

3b-2

3a+2

的幾何意義求其范圍．

解答：解：由f（x）=ax²-blnx+2x，得f′(x)=2ax-

b

x

+2=

2ax2+2x-b

x

．
令g（x）=2ax²+2x-b，
因?yàn)閒（x）=ax²-blnx+2x（a＞0，b＞0）在區(qū)間(

1

2

，1)上不單調(diào)，
所以在區(qū)間(

1

2

，1)上，存在x使得f^′（x）=0，且x不是方程2ax²+2x-b=0的二重根．
即函數(shù)g（x）=2ax²+2x-b在區(qū)間(

1

2

，1)上有零點(diǎn)，且零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值異號(hào)．
又其對(duì)稱軸方程為x=-

1

2a

＜0，則

g( 1 2 )= a 2 -b+1＜0 g(1)=2a-b+2＞0

．
其可行域如圖，

而

3b-2

3a+2

=

b- 2 3

a+ 2 3

，幾何意義為可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)A(-

2

3

，

2

3

)連線的斜率的范圍，
由圖可知范圍為(

1

2

，2)．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法及數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答的關(guān)鍵是由題意列出關(guān)于a，b的不等式組，是中檔題．