Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足 ()，，設(shè)，．
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）若≥，，求實(shí)數(shù)的最小值；
（3）當(dāng)時，給出一個新數(shù)列，其中，設(shè)這個新數(shù)列的前項(xiàng)和為，若可以寫成 (且)的形式，則稱為“指數(shù)型和”．問中的項(xiàng)是否存在“指數(shù)型和”，若存在，求出所有“指數(shù)型和”；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，相鄰兩項(xiàng)的比值為定值。
（2）-9
（3）①當(dāng)為偶數(shù)時，，存在正整 數(shù)，使得，，,，所以且，
相應(yīng)的，即有，為“指數(shù)型和”；        
②當(dāng)為奇數(shù)時，，由于是個奇數(shù)之和，仍為奇數(shù)，又為正偶數(shù)，所以不成立，此時沒有“指數(shù)型和

試題分析：解：（1），，，當(dāng)時，
=2，所以為等比數(shù)列． ，．
（2） 由（1）可得   
；  ，   ，
所以，且．所以的最小值為-9
（3）由（1）當(dāng)時 ，
當(dāng)時，，，
所以對正整數(shù)都有．                   
由，，(且)，只能是不小于3的奇數(shù)．
①當(dāng)為偶數(shù)時，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011451071467.png" style="vertical-align:middle;" />和都是大于1的正整數(shù)，
所以存在正整 數(shù)，使得，，
,，所以且，
相應(yīng)的，即有，為“指數(shù)型和”；        
②當(dāng)為奇數(shù)時，，由于是個奇數(shù)之和，
仍為奇數(shù)，又為正偶數(shù)，所以不成立，此時沒有“指數(shù)型和”
點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是能利用數(shù)列的定義和數(shù)列的單調(diào)性來求解參數(shù)的值，同事能借助于新定義來求解，屬于基礎(chǔ)題。