Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c經過坐標原點，當x=

1

3

時有最小值-

1

3

，數列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，S_n）（n∈N^*）均在函數y=f（x）的圖象上．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）設b_n=

3

anan+1

，T_n 是數列{b_n}的前n項和，求使得T_n＜

m

20

對所有n∈N^*都成立的最小正整數m．

Answer 1

分析：（1）由題意可得f(x)=a(x-

1

3

)2-

1

3

（a＞0），由于函數f（x）的圖象經過原點，可得f（0）=0，解出a即可；
（2）把點（n，S_n）（n∈N^*）代入函數y=f（x）即可得到S_n．再利用“當n=1時，a₁=S₁；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”即可得到a_n．
（3）利用“裂項求和”即可得出T_n．由于T_n是關于n的單調遞增數列，要滿足使得T_n＜

m

20

對所有n∈N^*都成立的m，則

1

2

≤

m

20

，解得m即可．

解答：解：（1）由題意可得f(x)=a(x-

1

3

)2-

1

3

（a＞0），由于函數f（x）的圖象經過原點，
∴f（0）=0，即a(0-

1

3

)2-

1

3

=0，解得a=3．
∴f(x)=3(x-

1

3

)2-

1

3

=3x²-2x．
（2）∵點（n，S_n）（n∈N^*）均在函數y=f（x）的圖象上，∴Sn=3n2-2n．
當n=1時，a₁=S₁=3-2=1；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5．
當n=1時，上式也成立．
∴a_n=6n-5（n∈N^*）．
（3）b_n=

3

anan+1

=

3

(6n-5)(6n+1)

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)，
∴Tn=

1

2

[(1-

1

7

)+(

1

7

-

1

13

)+…+(

1

6n-5

-

1

6n+1

)]=

1

2

(1-

1

6n+1

)．
由于T_n是關于n的單調遞增數列，要滿足使得T_n＜

m

20

對所有n∈N^*都成立的m，則

1

2

≤

m

20

，解得m≥10，
因此滿足條件的最小正整數m=10．

點評：數列掌握二次函數的性質、利用“當n=1時，a₁=S₁；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”得到a_n、“裂項求和”等是解題的關鍵．