Question

（1）已知：tanα=-

4

3

，求

sinα-3cosα

sinα+cosα

的值；
（2）已知α∈（0，

π

2

），β∈(

π

2

，π)sinβ=

2 2

3

，sin（α+β）=

7

9

，求cosα的值．

Answer 1

分析：（1）所求式子分子分母除以cosα，利用同角三角函數間的基本關系化為關于tanα的關系式，將tanα的值但仍舊是即可求出值；
（2）由β的范圍及sinβ的值，利用同角三角函數間的基本關系求出cosβ的值，再由α與β的范圍，及sin（α+β）的值，利用同角三角函數間的基本關系求出cos（α+β）的值，所求式子cosα變形為cos[（α+β）-β]，利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，把各自的值代入計算即可求出值．

解答：解：（1）∵tanα=-

4

3

，
∴

sinα-3cosα

sinα+cosα

=

tanα-3

tanα+1

=

- 4 3 -3

- 4 3 +1

=13；
（2）∵β∈（

π

2

，π），sinβ=

2 2

3

，
∴cosβ=-

1-sin2β

=-

1

3

，
∵α∈（0，

π

2

），β∈（

π

2

，π），
∴α+β∈（

π

2

，

3π

2

），
∵sin（α+β）=

7

9

，
∴cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

4 2

9

，
∴cosα=cos[（α+β）-β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=-

4 2

9

×（-

1

3

）+

7

9

×

2 2

3

=

2 2

3

．

點評：此題考查了兩角和與差的余弦函數公式，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握公式及基本關系是解本題的關鍵．