Question

已知正方形ABCD的邊長為6，空間有一點M（不在平面ABCD內）滿足|MA|+|MB|=10，則三棱錐A-BCM的體積的最大值是（　　）

• A、48
• B、36
• C、30
• D、24

Answer 1

分析：由三棱錐A-BCM的體積=三棱錐M-ABC的體積，底面△ABC的面積一定，高最大時，其體積最大；又高由頂點M確定，所以，
當平面MAB⊥平面ABCD時，高最大，體積也最大．

解答：解：如圖，由題意知，因為三棱錐A-BCM的體積=三棱錐M-ABC的體積，
底面△ABC的面積一定，當高最大時，體積最大；
當平面MAB⊥平面ABCD時，過點M作MN⊥AB，則MN⊥平面ABCD，
在△MAB中，|MA|+|MB|=10，AB=6，
顯然，當|MA|=|MB|=5時，高MN最大，并且MN=

MA2-AN2

=

52-32

=4，
所以，三棱錐A-BCM的最大體積為：V_A-BCM=V_M-ABC=

1

3

•S_△ABC•MN=

1

3

×

1

2

×6×6×4=24．
故選D

點評：本題通過作圖知，側面與底面垂直時，得出高最大時體積也最大；其解題的關鍵是正確作圖，得高何時最大．