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(2012•大連二模)選修4-5:不等式選講定義min{a,b}=
a,a≤b
b,a>b
,求函數f(x)=min{|x-2|+|2x+1|,-x2+3x+3}的最大值.
分析:由題意,函數f(x)是取|x-2|+|2x+1|和-x2+3x+3兩個值中的較小值.因此根據x的取值范圍將|x-2|+|2x+1|化成分段函數的表達式,利用作差的方法分別得到各個范圍內|x-2|+|2x+1|與-x2+3x+3的大小關系,從而得到f(x)的分段函數表達式,再結合函數的單調性可得f(x)的最大值.
解答:解:根據絕對值的意義,可得|x-2|+|2x+1|=
3x-1    x≥2
x+3     -
1
2
<x<2
-3x+1    x≤-
1
2
…(3分)
①當x≥2時-x2+3x+3-(3x-1)=-x2+4≤0成立,此時|x-2|+|2x+1|>-x2+3x+3,∴f(x)=-x2+3x+3;
②當-
1
2
<x<2時,-x2+3x+3-(x+3)=-x2+2x≤0在(-
1
2
,0)成立,此時f(x)=-x2+3x+3.
-x2+3x+3-(x+3)=-x2+2x≥0在[0,2)成立,此時f(x)=x+3;
③當x≤-
1
2
時,-x2+3x+3-(-3x+1)=-x2+6x+2≤0在(-∞,-
1
2
]成立,此時f(x)=-x2+3x+3;
所以f(x)=
-x2+3x+3      x≤0
x+3        0<x<2
-x2+3x+3     x≥2
,…(6分)
可得函數在(-∞,0),(0,2)上是增函數,在(2,+∞)上是減函數
因此,當x≤0時,f(x)≤f(0)=3;當0<x<2時,f(x)<f(2)=5;當x≥2時,f(x)≤f(2)=5.
綜上所述,可得f(x)最大值為5. …(10分)
點評:本題給出取最小值的函數min{a,b},求f(x)=min{|x-2|+|2x+1|,-x2+3x+3}的最大值.著重考查了絕對值的意義、分段函數的單調性和函數的最值及其幾何意義等知識,屬于中檔題.
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,則m=(  )
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