Question

【題目】已知橢圓過點，且橢圓的一個頂點的坐標為．過橢圓的右焦點的直線與橢圓交于不同的兩點，（，不同于點），直線與直線：交于點．連接，過點作的垂線與直線交于點．

（1）求橢圓的方程，并求點的坐標；

（2）求證：，，三點共線．

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據題意列方程組，即可得到橢圓的方程，進而得到焦點坐標；

（2）討論直線的斜率，利用是平行的證明，，三點共線．

（1） 因為點在橢圓上，且橢圓的一個頂點的坐標為，

所以解得

所以橢圓的方程為．

所以橢圓的右焦點的坐標為．

（2）① 當直線的斜率不存在時，直線的方程為．

顯然，，或，．

當，時，直線的方程為，點的坐標為．

所以．

直線的方程為，點的坐標為．

則，．

所以，所以，，三點共線．

同理，當，時，，，三點共線．

② 當直線的斜率存在時，設直線的方程為．

由得．

且．

設，，則，．

直線的方程為，點的坐標為．

所以．

直線的方程為，點的坐標為．

則，．

所以

，

，

，

，

，

．

所以與共線，

所以，，三點共線．

綜上所述，，，三點共線．