Question

已知函數f（x）=2sin²（ωx+

π

4

）-

3

cos2ωx（ω＞0）的周期為π．
（1）求ω及函數f（x）的值域；
（2）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式降次升角，通過兩角和的正弦函數化為一個角的一個三角函數的形式，根據周期公式求ω，利用正弦函數的最值求出函數f（x）的值域；
（2）結合x 的范圍求出表達式相位的范圍，確定表達式的范圍，求出最值，利用不等式恒成立確定m 的范圍即可．

解答：解：（1）f（x））=2sin²（ωx+

π

4

）-

3

cos2ωx
=1+sin2ωx-

3

cos2ωx
=1+2sin（2ωx-

π

3

）
∴T=

2π

2ω

=π，所以ω=1
f（x）=1=2sin（2x-

π

3

）
（2）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
∴2≤1+2sin（2x-

π

3

）≤3，
∴f（x）_max=3，f（x）_min=2
∵不等式|f（x）-m|＜2?f（x）-2＜m＜f（x）+2
∴|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立?m＞f（x）_max-2且m＜f（x）_min+2
∴1＜m＜4，即：m的取值范圍是（1，4）

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡，周期的求法，函數的閉區間上的最值問題，考查發現問題解決問題的能力，考查計算能力，常考題型．