Question

某摩托車生產企業，上年度生產摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價為1.3萬元/輛，年銷售量為50000輛．本年度為適應市場需求，計劃提高產品檔次，適當增加投入成本，若每輛投入成本增加比例為x（0＜x＜1），則出廠價格相應提高的比例為0.7x，年銷售量也相應增加，已知年利潤=（每輛車的出廠價-每輛車的投入成本）×年銷售量．
（Ⅰ）若年銷售量增加的比例為0.4x，寫出本年度的年利潤關于x的函數關系式；
（Ⅱ）若年銷售量關于x的函數為，則當x為何值時，本年度的年利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

解：（I）設年利潤為y，則有y=[1.3（1+0.7x）-1×（1+x）]50000（1+0.4x）=50（-36x²+30x+300）．
即y=-1800x²+1500x+15000，x∈（0，1）．（4分）
（Ⅱ）依題意年利潤
即．（6分）
要求f（x）的最大值，即求g（x）=9x³-48x²+45x+50，x∈（0，1）的最大值．g'（x）=27x²-96x+45．
由g'（x）=0得或x=3（舍）．（8分）
當時，g'（x）＞0；當時，g'（x）＜0．
∴時，g（x）有最大值，．（10分）
∴．（11分）
答：當時，本年度年利潤最大為2000萬元．（12分）
分析：（I）根據年利潤=（每輛車的出廠價-每輛車的投入成本）×年銷售量．可設年利潤為y，從而可以構建函數關系式；
（Ⅱ）根據年利潤=（每輛車的出廠價-每輛車的投入成本）×年銷售量可得函數關系式，再利用導數法求最值．
點評：本題的考點是函數模型的選擇與應用，主要考查二次函數模型的構建，關鍵是利用年利潤=（每輛車的出廠價-每輛車的投入成本）×年銷售量．同時考查導數法求函數的最值．