Question

某摩托車生產企業，上年度生產摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛．本年度為適應市場需求，計劃提高產品檔次，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為x（0＜x＜1），則出廠價相應的提高比例為0.75x，同時預計年銷售量增加的比例為0.6x．已知年利潤=（出廠價-投入成本）×年銷售量．
（1）寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關系式；
（2）為使本年度的年利潤比上年有所增加，問投入成本增加的比例x應在什么范圍內？

Answer 1

分析：（1）根據若每輛車投入成本增加的比例為x（0＜x＜1），則出廠價相應的提高比例為0.75x，同時預計年銷售量增加的比例為0.6x和年利潤=（出廠價-投入成本）×年銷售量．建立利潤模型，要注意定義域．
（2）要保證本年度的利潤比上年度有所增加，只需今年的利潤減去的利潤大于零即可，解不等式可求得結果，要注意比例的范圍．

解答：解：（1）由題意得
y=[1.2×（1+0.75x）-1×（1+x）]×1000×（1+0.6x）（0＜x＜1）（4分）
整理得y=-60x²+20x+200（0＜x＜1）．（6分）
（2）要保證本年度的利潤比上年度有所增加，當且僅當

y-(1.2-1)×1000＞0  0＜x＜1.

即

-60x2+20x＞0  0＜x＜1.

（9分）
解不等式得0＜x＜

1

3

．
答：為保證本年度的年利潤比上年度有所增加，投入成本增加的比例x應滿足 0＜x＜0.33．（12分）

點評：本小題主要考查建立函數關系、不等式的性質和解法等內容，考查運用數學知識解決實際問題的能力．