Question

某工廠日生產某種產品最多不超過30件，且在生產過程中次品率p與日產量x（x∈N⁺）件間的關系為 
，每生產一件正品盈利2900元，每出現一件次品虧損1100元．
（Ⅰ）將日利潤y（元）表示為日產量x（件）的函數；
（Ⅱ）該廠的日產量為多少件時，日利潤最大？
（注：次品率，正品率=1-p）

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中，工廠日生產某種產品最多不超過30件，且在生產過程中次品率p與日產量x（x∈N⁺）件間的關系為，，每生產一件正品盈利2900元，每出現一件次品虧損1100元．我們易得到日利潤y（元）表示為日產量x（件）的分段函數的形式，
（II）根據分段函數分段處理的原則，我們求出兩段的最大值，進而分析兩個最大值，即可得到結論．
解答：解：（Ⅰ）由題意得：

=（6分）
（II）當0＜x≤15時，y=2500x-20x²，
∴當x=15時，y取得最大值33000元…6分
當15＜x≤30時，y=
則y′=2500-4x²，令y′=0，則x=25
∵當15＜x≤25時，y′≥0，當25＜x≤30，y′＜0…8分
故當x=25時，y取得最大值元…10分
∵33000＜
∴當x=25時，y取得最大值元
即該廠的日產量為25件時，日利潤最大…12分
點評：本題考查的知識點是函數模型的選擇與應用，利用導數求半月區(qū)間上的函數的最值，其中分析題意，求出滿足條件的函數的解析式，是解答本題的關鍵．