Question

【題目】已知橢圓C: (a>b>0)的離心率為,坐標原點O到直線x+y-b=0的距離為.

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)設過橢圓C的右焦點F且傾斜角為45°的直線l與橢圓C交于A,B兩點,對于橢圓C上一點M,若(λ>0,μ>0),求λμ的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)根據(jù)的離心率為,坐標原點到直線的距離為，結合性質 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、 ，即可得結果；（2）設,求得，代入橢圓方程結合在橢圓上可得，利用基本不等式可得結果.

(1)由題意知e==,∴c2=a2,∴b2=a2-c2=a2.∵坐標原點O到直線x+y-b=0的距離為,∴=,∴b=5,b2=25,∴a2=4b2=100,

∴橢圓C的標準方程為+=1.

(2)由(1)知F(5,0),由題意可知直線l的方程為y=x-5,橢圓C的方程可化為x/span>2+4y2=100,聯(lián)立直線l與橢圓C的方程,消去y得5x2-40x+200=0.

設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=8,x1x2=40.設M(x,y),由=λ+μ得(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2)=(λx1+μx2,λy1+μy2),

∴又點M在橢圓C上,∴x2+4y2=100,即(λx1+μx2)2+4(λy1+μy2)2

=λ2+μ2+2λμx1x2+4(λ2+μ2+2λμy1y2)

=λ2(+4)+μ2(+4)+2λμ(x1x2+4y1y2)

=100.

∵A,B在橢圓C上,故有+4=100,+4=100.而x1x2+4y1y2=x1x2+4(x1-5)(x2-5)=5x1x2-20(x1+x2)+300=5×40-20×8+300=20,可得100λ2+100μ2+40λμ=100,即λ2+μ2+=1.

∵1=λ2+μ2+≥2λμ+=λμ,∴λμ≤,當且僅當λ=μ=時取得等號,故λμ的最大值為.