Question

設函數的定義域為（0，）.

(Ⅰ)求函數在上的最小值；

(Ⅱ)設函數，如果，且，證明：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 利用導數分析單調性，進而求最值；(Ⅱ)分類討論函數的單調性

試題解析：(Ⅰ)，則時，；時，。

所以，函數在（0，1）上是減函數，在（1，+）上是增函數.  2分

當時，函數在[m，m+1]上是增函數,

此時；

當時，函數在[m， 1]上是減函數,在[1，m+1]上是增函數，

此時；                                 6分

(Ⅱ)證明：考察函數， 

所以g(x)在()內是增函數，在()內是減函數.（結論1）

考察函數F(x)=g(x)-g(2-x)，即

于是

當x>1時，2x-2>0,從而(x)>0,

從而函數F（x）在[1,+∞)是增函數。                                           

又F(1)=F(x)>F(1)=0,即g(x)>g(2-x). （結論2）  10分

若，由結論1及，得，與矛盾；

若，由結論1及，得，與矛盾；  12分

若不妨設

由結論2可知，g()>g(2-)，所以>g(2-)。

因為，所以，又由結論1可知函數g(x)在區間（-∞，1）內是增函數，

所以>,即>2.                  15分

考點：導數，函數的單調性，分類討論.