Question

已知在數列{a_n}中，S_n是數列{a_n}的前n項和，a₁=1且4S_n=a_n•a_n+1+1．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=a_n•3^n-1，數列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析：（1）將已知的和與項的遞推關系中的n用n-1代替，仿寫出一個新的等式，兩個式子相減，利用等差數列的定義得到一個等差數列，利用等差數列的通項公式求出通項．
（2）由于數列的通項是一個等差數列與一個等比數列的乘積構成的新數列，利用錯位相減法求出數列的前n項和．

解答：解：（1）∵4S_n=a_n•a_n+1+1    ①
∴4S_n-1=a_n-1a_n+1②
②-①得4a_n=a_n（a_n+1-a_n-1）
∵a_n≠0
∴a_n+1-a_n-1=4
∵a₁=1得a₂=3
∴奇數項成以4為公差的等差數列；偶數項成以4為公差的等差數列
∴an=

1+4( n+1 2 -1)=2n-1(n為奇數) 3+4( n 2 -1)=2n-1(n為偶數)

∴a_n=2n-1
（2）∴b_n=（2n-1）•3^n-1
∴T_n=1×3⁰+3×3¹+5×3²+..+（2n-1）×3^n-1
3T_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-3）×3^n-1+（2n-1）×3ⁿ  
∴-2T_n=1×3⁰+2×3+2×3²+…+2×3^n-1-（2n-1）×3ⁿ
∴-2Tn=

2(1-3n)

1-3

-(2n-1)×3n-1
所以T_n=（n-1）3ⁿ+1

點評：已知數列的項與和的遞推關系求數列的通項時，一般通過仿寫構造一個新等式，兩個式子相減得到項的遞推關系，再據遞推關系的特點選擇合適的求通項方法；求數列的前n項和，關鍵是根據數列通項的特點選擇合適的求和方法．