Question

設變量x，y滿足約束條件

y≥0 x+y≤3 3x+y≥3

，
（1）在如圖所示的坐標系中畫出約束條件表示的圖形并求其面積．
（2）求目標函數z=5x+y的最大值．

Answer 1

分析：（1）作出不等式組對應的平面區域，根據圖象求面積即可．
（2）利用目標函數的幾何意義，利用數形結合確定z的最大值．

解答：解：（1）作出不等式組對應的平面區域如圖：（陰影部分ABC）．
則AC=2，B（0，3），
∴三角形ABC的面積為

1

2

×2×3=3．
（2）由z=5x+y得y=-5x+z，
平移直線y=-5x+z，
由圖象可知當直線y=-5x+z經過點C時，直線y=-5x+z的截距最大，
此時z最大．
將C（3，0）的坐標代入目標函數z=5x+y，
得z=5×3=15．
即z=5x+y的最大值為15．

點評：本題主要考查線性規劃的應用，結合目標函數的幾何意義，利用數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法．