Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AC=AA₁=2，∠BAC=60°．
（1）證明：A₁C⊥B₁C₁；
（2）求點B₁到平面A₁BC的距離；
（3）求二面角C₁-A₁B-C的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證A₁C⊥B₁C₁，即證線面垂直，為了要證明線面垂直，即要證線線垂直，其中利用勾股定理證明AC⊥BC即可；
（2）利用空間向量的坐標法求解，先建立空間直角坐標系，設點的坐標，利用點B₁到平面A₁BC的距離公式求解；
（3）先求出平面A₁BC₁的一個法向量，再利用兩個向量的夾角公式求解二面角C₁-A₁B-C的大小即可．
解答：證明：（1）在△ABC中，BC²=16+4-2×4×2×cos60=12，（2分）
∵AB²=AC²+BC²，
∴AC⊥BC，
∵A₁A⊥平面ABC，
∴A₁C⊥BC，
∵B₁C₁∥BC，
∴A₁C⊥B₁C₁．（4分）

（2）由（1）知，AC⊥BC．建立如圖直角坐標系，
則A₁（2，0，2），
易求得，平面A₁BC的一個法向量，
∴點B₁到平面A₁BC的距離．（8分）
（3）可求得平面A₁BC₁的一個法向量，，
∴二面角C₁-A₁B-C的大小是．（12分）
點評：本題主要考查了平面與平面之間的位置關系，以及空間中直線與直線之間的位置關系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．