Question

已知橢圓經過點，一個焦點為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與軸交于點，與橢圓交于兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，求的取值范圍．

Answer 1

（1）橢圓的方程是；（2）的取值范圍為．

試題分析：（1）求橢圓的方程，已知橢圓經過點，一個焦點為，故可用待定系數法，利用焦點為可得，利用過點，可得，再由，即可解出，從而得橢圓的方程；（2）求的取值范圍，由弦長公式可求得線段的長，因此可設，由得，，則是方程的兩根，有根與系數關系，得，，由弦長公式求得線段的長，求的長，需求出的坐標，直線與軸交于點，可得，線段的垂直平分線與軸交于點，故先求出線段的中點坐標，寫出線段的垂直平分線方程，令，既得點的坐標，從而得的長，這樣就得的取值范圍．
試題解析：（1）由題意得解得，．
所以橢圓的方程是．                    4分
（2）由得．
設，則有，，
．所以線段的中點坐標為，
所以線段的垂直平分線方程為．
于是，線段的垂直平分線與軸的交點，又點，
所以．
又．
于是，．
因為，所以．所以的取值范圍為．                  14分