Question

如圖，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC＝，BB₁＝3，D為A₁C₁的中點(diǎn)，F在線段AA₁上．

(1)AF為何值時(shí)，CF⊥平面B₁DF？

(2)設(shè)AF＝1，求平面B₁CF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因?yàn)橹比�棱�?I>ABC－A1B1C1中，以B點(diǎn)為原點(diǎn)，BA、BC、BB1分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系. 　　因?yàn)?I>AC＝2，∠ABC＝90o，所以AB＝BC＝， 　　從而B(0，0，0)，A，C，B1(0，0，3)，A1，C1，D，E． 　　所以， 　　設(shè)AF＝x，則F(，0，x)， 　　. 　　，所以 　　要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F. 　　由＝2＋x(x－3)＝0，得x＝1或x＝2， 　　故當(dāng)AF＝1或2時(shí)，CF⊥平面B1DF　　5分 　　(2)由(1)知平面ABC的法向量為n1＝(0，0，1)． 　　設(shè)平面B1CF的法向量為，則由得 　　令z＝1得， 　　所以平面B1CF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值　　10分