Question

已知函數f(x)=Asin (

π

3

x+φ)，x∈R，A＞0，0＜φ＜

π

2

．y=f（x）的部分圖象，如圖所示，P、Q分別為該圖象的最高點和最低點，點P的坐標為（1，A）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及φ的值；
（Ⅱ）若點R的坐標為（1，0），∠PRQ=

2π

3

，求A的值．

Answer 1

分析：（I）由已知函數f(x)=Asin (

π

3

x+φ)，我們易求出函數的最小正周期，又由P的坐標為（1，A），我們易構造出一個關于φ的三角方程，結合0＜φ＜

π

2

解三角方程即可求出φ值．
（II）根據（I）的結論及R的坐標，和∠PRQ=

2π

3

，利用余弦定理我們易構造出一個關于A的方程，解方程即可得到A的值．

解答：解：（I）由題意得，T=

2π

π 3

=6
∵P（1，A）在函數f(x)=Asin (

π

3

x+φ)的圖象上
∴sin (

π

3

+φ)=1
又∵0＜φ＜

π

2

∴φ=

π

6

（II）由P、Q分別為該圖象的最高點和最低點，點P的坐標為（1，A），結合（I）可知點Q的坐標為（4，-A）
連接PQ，在△PRQ中，∠PRQ=

2π

3

可得，∠QRX=

π

6

，作QM⊥X軸于M，則QM=A，RM=3，
所以有tan

π

6

=

3

3

=

QM

RM

=

A

3

∴A=

3

點評：本題考查的知識點是函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，三角函數的周期性及其求法，其中根據已知中條件構造關于參數A，φ是解答本題的關鍵．