Question

從一塊短軸長為2b的橢圓形玻璃鏡中劃出一塊面積最大的矩形，其面積的取值范圍是[3b²，4b²]，則該橢圓離心率e的取值范圍是 ________．

Answer 1

[，]
分析：先設出橢圓的標準方程，在第一象限內取點（x，y），設x=acosθ，y=bsinθ，進而可表示出圓的內接矩形長和寬，進而表示出該矩形的面積，由3b²≤2ab≤4b²，求得3b≤2a≤4b，平方后，利用b=代入求得a和c的不等式關系，進而求得的范圍，即離心率e的范圍．
解答：設橢圓的標準方程為+=1，
在第一象限內取點（x，y），設x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜）
則橢圓的內接矩形長為2acosθ，寬為2bsinθ，
內接矩形面積為2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，
由已知得：3b²≤2ab≤4b²，
3b≤2a≤4b，
平方得：9b²≤4a²≤16b²，
9（a²-c²）≤4a²≤16（a²-c²），
5a²≤9c²且12 a²≥16 c²，
∴≤≤
即e∈[，]
故答案為：[，]
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質，橢圓的應用和橢圓的參數方程的應用．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．