Question

從一塊短軸長(zhǎng)為2b的橢圓形玻璃鏡中劃出一塊面積最大的矩形，其面積的取值范圍是[3b²，4b²]，則該橢圓離心率e的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，在第一象限內(nèi)取點(diǎn)（x，y），設(shè)x=acosθ，y=bsinθ，進(jìn)而可表示出圓的內(nèi)接矩形長(zhǎng)和寬，進(jìn)而表示出該矩形的面積，由3b²≤2ab≤4b²，求得3b≤2a≤4b，平方后，利用b=

a2-c2

代入求得a和c的不等式關(guān)系，進(jìn)而求得

c

a

的范圍，即離心率e的范圍．

解答：解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
在第一象限內(nèi)取點(diǎn)（x，y），設(shè)x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜

π

2

）
則橢圓的內(nèi)接矩形長(zhǎng)為2acosθ，寬為2bsinθ，
內(nèi)接矩形面積為2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，
由已知得：3b²≤2ab≤4b²，
3b≤2a≤4b，
平方得：9b²≤4a²≤16b²，
9（a²-c²）≤4a²≤16（a²-c²），
5a²≤9c²且12 a²≥16 c²，
∴

5

3

≤

c

a

≤

3

2

即e∈[

5

3

，

3

2

]
故答案為：[

5

3

，

3

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，橢圓的應(yīng)用和橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合分析問題和基本的運(yùn)算能力．