Question

若方程k|x|=（x+2）x³有三個不同的根，則實數k的取值范圍為     ．

Answer 1

【答案】分析：先看出有一根0，把題轉化為k=有兩個不同且不為0的根，再利用圖形可得k的取值范圍．
解答：解：因為當x=0時，方程成立，
所以原題轉化為k=，
有兩個不同且不為0的根從圖象上來看有兩個不等且不為0的交點，
又因為f（x）=x²（x+2）在（0，+∞）上為增函數，
設g（x）=-x²（x+2），（x＜0），
所以g'（x）=-3x²-4x=-3x（x+），
故g（x）在（-∞，-）上遞減，在（-，0）上遞增，
又g（-）=-，所以可在坐標系中畫出f（x）和g（x）的圖象，
如圖可得，當-＜k＜0或k＞0時，圖象有兩個不等且不為0的根，
故所求k的取值范圍是-＜k＜0或k＞0．
故答案為：-＜k＜0或k＞0．
點評：本題考查根的個數的應用和數形結合思想和轉化思想的應用．很多問題在實施“化難為易”、“化生為熟”中得以解決．