Question

若方程k|x|=（x+2）x³有三個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：先看出有一根0，把題轉(zhuǎn)化為k=

x2(x+2) x＞0 -x2(x+2) x＜0

有兩個(gè)不同且不為0的根，再利用圖形可得k的取值范圍．

解答：解：因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，方程成立，
所以原題轉(zhuǎn)化為k=

x2(x+2) x＞0 -x2(x+2) x＜0

，
有兩個(gè)不同且不為0的根從圖象上來看有兩個(gè)不等且不為0的交點(diǎn)，
又因?yàn)閒（x）=x²（x+2）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
設(shè)g（x）=-x²（x+2），（x＜0），
所以g'（x）=-3x²-4x=-3x（x+

4

3

），
故g（x）在（-∞，-

4

3

）上遞減，在（-

4

3

，0）上遞增，
又g（-

4

3

）=-

32

27

，所以可在坐標(biāo)系中畫出f（x）和g（x）的圖象，
如圖可得，當(dāng)-

32

27

＜k＜0或k＞0時(shí)，圖象有兩個(gè)不等且不為0的根，
故所求k的取值范圍是-

32

27

＜k＜0或k＞0．
故答案為：-

32

27

＜k＜0或k＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用和數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．很多問題在實(shí)施“化難為易”、“化生為熟”中得以解決．