Question

【題目】若無窮數列滿足：存在，對任意的，都有（為常數），則稱具有性質

（1）若無窮數列具有性質，且，求的值

（2）若無窮數列是等差數列，無窮數列是公比為正數的等比數列，，，，判斷是否具有性質，并說明理由.

（3）設無窮數列既具有性質，又具有性質，其中互質，求證：數列具有性質

Answer 1

【答案】（1）6；（2）不具有；詳見解析（3）證明見解析；

【解析】

（1）由題意可得任意的，都有，可得，即可得解；

（2）由題意可得，若具有性質，由新定義可得，即可判斷；

（3）由題意可得對任意，均有，，進而可得、、，再證明即可得解.

（1）無窮數列具有性質，

，，

又，即，

；

（2）設無窮數列的公差為d，無窮數列公比為q，，

則，，，，

，，，

假設具有性質，，

則對于任意的，

均有

，

即對任意均成立，式子左邊是變量，右邊是常數，所以

不恒成立，故假設錯誤，

不具有性質；

（3）證明：無窮數列具有性質，

，，①

無窮數列具有性質，

，，②

互質，

由①得，由②得，

即，

當時，，

數列具有性質.