Question

在極坐標(biāo)系中，圓C的圓心坐標(biāo)為C（2，

π

3

），半徑為2．以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x的正半軸，取相同的長(zhǎng)度單位建立平面直角坐標(biāo)系，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為

x=1- 3 2 t y= 3 + 1 2 t

（t為參數(shù)）
（Ⅰ）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)l與圓C的交點(diǎn)為A，B，l與x軸的交點(diǎn)為P，求|PA|+|PB|．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（I）求出圓的直角坐標(biāo)方程，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出極坐標(biāo)方程；
（II）把

x=1- 3 2 t y= 3 + 1 2 t

（t為參數(shù)）代入x2+y2-2x-2

3

y=0得t²=4，可得點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁=2，t₂=-2，令

3

+

1

2

t=0得點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t0=-2

3

．利用|PA|+|PB|=|t₁-t₀|+|t₂-t₀|即可得出．
法二：把把

x=1- 3 2 t y= 3 + 1 2 t

（t為參數(shù)）化為普通方程得y-

3

=-

3

3

(x-1)，令y=0得點(diǎn)P坐標(biāo)為P（4，0），由于直線(xiàn)l恰好經(jīng)過(guò)圓C的圓心C，可得|PA|+|PB|=2|PC|．

解答：解：（I）在直角坐標(biāo)系中，圓心的坐標(biāo)為C(1，

3

)，
∴圓C的方程為(x-1)2+(y-

3

)2=4即x2+y2-2x-2

3

y=0，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得：ρ2-2ρcosθ-2

3

ρsinθ=0，即ρ=4sin(θ+

π

6

)．
（II）法一：把

x=1- 3 2 t y= 3 + 1 2 t

（t為參數(shù)）代入x2+y2-2x-2

3

y=0得t²=4，
∴點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁=2，t₂=-2，
令

3

+

1

2

t=0得點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t0=-2

3

．
∴|PA|+|PB|=|t₁-t₀|+|t₂-t₀|=|2+2

3

|+|-2+2

3

|=4

3

．
法二：把把

x=1- 3 2 t y= 3 + 1 2 t

（t為參數(shù)）化為普通方程得y-

3

=-

3

3

(x-1)，
令y=0得點(diǎn)P坐標(biāo)為P（4，0），
又∵直線(xiàn)l恰好經(jīng)過(guò)圓C的圓心C，
故|PA|+|PB|=2|PC|=2

(4-1)2+( 3 -0)2

=4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的應(yīng)用、直線(xiàn)與圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．