Question

一個正方體的各頂點均在同一球的球面上，若該球的體積為36π，則此正方體的體對角線為

 

；若此正方體的一條棱長變更為3，則該棱的兩端點之間的球面距離為

 

．

Answer 1

分析：由題意球的直徑等于正方體的體對角線的長，求出球的半徑，再求正方體的棱長，然后求正方體的體對角線，由題意求出正四面體的棱長，利用余弦定理求出∠AOB，然后求出A與B兩點間的球面距離．

解答：解：設球的半徑為R，由

4π

3

R3=36π得R=3，
此正方體的體對角線即為球的直徑，
則此正方體的體對角線為6．
若此正方體的一條棱長AB變更為3，
正方體的對角線就是外接球的直徑，所以球的半徑長為：r=

3

2

3

；
cos∠AOB=

r 2+r 2-AB 2

2r×r

代入數據得：
cos∠AOB=-

1

3

A與B兩點間的球面距離為：

3

2

3

×arccos（-

1

3

）=

3 3

2

arccos

1

3

故答案為：6；3

3

arcsin

3

3

或

3 3

2

arccos

1

3

點評：本題是基礎題，考查正四面體的外接球的知識，考查空間想象能力，計算能力，球面距離的求法，是常考題型．