Question

如圖，已知四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=2，AB=BC=1，沿AC將△ABC折起，使點(diǎn)B到點(diǎn)P的位置，且平面PAC⊥平面ACD．
（I）證明：DC⊥平面APC；
（II）求二面角B﹣AP﹣D的余弦值．

Answer 1

（I）證明：∵∠ABC=90°，AB=BC=1，∴AC=
∵四邊形ABCD為直角梯形，AD=2，AB=BC=1
∴CD=，
∴AC²+CD²=AD²，∴∠ACD=90°
∴DC⊥AC
∴平面PAC⊥平面ACD，平面PAC∩平面ACD=AC．
∴DC⊥平面APC；
（II）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），P（）
∴，=，
設(shè)平面APB的法向量為，
平面APD的法向量為
∴，
∴
∴可取
同理
∴=
∵二面角B﹣AP﹣D的平面角為鈍二面角
∴二面角B﹣AP﹣D的余弦值為．