Question

如圖：已知四邊形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD，點E，F分別是線段PB，AD的中點
（1）求證：FE∥平面PCD；
（2）求異面直線DE與AB所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取PC的中點G，證明四邊形EFGD是平行四邊形，可得EF∥GD，證得EF∥平面PDC．
（2）根據CD∥AB，可得∠EDC或其補角為異面直線DE與AB所成的角，△DEC中，利用余弦定理即可得到結論．

解答：（1）證明：取PC的中點G，連接EG，GD，則EG∥

1

2

BC，且EG=

1

2

BC
∴GE∥DF且GE=DF．
∴四邊形EFGD是平行四邊形．
∴EF∥GD，
又EF?平面PDC，DG?平面PDC，
∴EF∥平面PDC；
（2）解：∵CD∥AB
∴∠EDC或其補角為異面直線DE與AB所成的角
設PD=AD=1，則△DEC中，DE=EC=

3

2

，DC=1
∴cos∠EDC=

DE2+DC2-EC2

2DE•DC

=

3

3

．

點評：本題考查證明線面平行，考查線線角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．