Question

設z是虛數，滿足ω=z+

1

z

是實數，且-1＜ω＜2．
（1）求|z|的值及z的實部的取值范圍；
（2）設u=

1-z

1+z

．求證：u是純虛數；
（3）求ω-u²的最小值．

Answer 1

（1）由z是虛數，設z=a+bi（a，b∈R，b≠0）則ω=z+

1

z

=a+bi+

1

a+bi

=a+bi+

a-bi

a2+b2

=a+

a

a2+b2

+(b-

b

a2+b2

)i
∵ω∈R∴b-

b

a2+b2

=0且b≠0得a²+b²=1即|z|=1
此時，ω=2a，∵-1＜ω＜2∴-

1

2

＜a＜1即z的實部的取值范圍為(-

1

2

，1)．…（4分）
（2）u=

1-z

1+z

=

1-(a+bi)

1+(a+bi)

=

[(1-a)-bi][(1+a)-bi]

(1+a)2+b2

．
∵a²+b²=1
∴u=-

b

1+a

i又b≠0，-

1

2

＜a＜1故u是純虛數．…（8分）
（3）ω-u2=2a+

b2

(1+a)2

=2a+

1-a2

(1+a)2

=2a+

1-a

1+a

=2[(a+1)+

1

a+1

]-3
由a∈(-

1

2

，1)知(a+1)+

1

a+1

≥2，
故當且僅當a+1=

1

a+1

，a=0時ω-u²的最小值為1．…（14分）．