Question

設z是虛數，滿足是實數，且-1＜ω＜2．
（1）求|z|的值及z的實部的取值范圍；
（2）設．求證：u是純虛數；
（3）求ω-u²的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出復數z，寫出ω的表示式，進行復數的運算，把ω整理成最簡形式，根據所給的ω的范圍，得到ω的虛部為0，實部屬于這個范圍，得到z的實部的范圍．
（2）根據設出的z，整理u的代數形式，進行復數的除法的運算，整理成最簡形式，根據上一問做出的復數的模長是1，得到u是一個純虛數．
（3）=，再利用基本不等式即可求ω-u²的最小值．
解答：解：（1）由z是虛數，設z=a+bi（a，b∈R，b≠0）則
∵ω∈R∴且b≠0得a²+b²=1即|z|=1
此時，ω=2a，∵-1＜ω＜2∴即z的實部的取值范圍為．…（4分）
（2）．
∵a²+b²=1
∴u=又故u是純虛數．…（8分）
（3）=
由知，
故當且僅當時ω-u²的最小值為1．…（14分）．
點評：本題考查復數的代數形式的運算，本題是一個運算量比較大的問題，題目的運算比較麻煩，解題時注意數字不要出錯．