Question

3．已知數列{a_n}的首項a₁=2，前n項和為S_n，$3{S_n}-4，{a_n}，2-\frac{{3{S_{n-1}}}}{2}，（n≥2）$總是成等差數列．
（1）證明數列{a_n}為等比數列；
（2）求滿足不等式${a_n}＜{（-4）^{n-1}}$的正整數n的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據題意可得4a_n=6S_n-4-3S_n-1，根據數列的遞推公式可得數列的通項公式，即可證明，
（2）分n為奇數和n為偶數兩種情況，即可得出．

解答 解：（1）∵$2{a_n}=3{S_n}-4+2-\frac{{3{S_{n-1}}}}{2}$，整理得：4a_n=6S_n-4-3S_n-1，（n≥2），4a_n-1=6S_n-1-4-3S_n-2，（n≥3），
相減得：4a_n-4a_n-1=6a_n-3a_n-1，（n≥3），即${a_n}=-\frac{1}{2}{a_{n-1}}$，（n≥3），
又∵$2{a_2}=3{S_2}-4+2-\frac{{3{S_1}}}{2}$，得a₂=-1，即${a_2}=-\frac{1}{2}{a_1}$，
綜上，數列{a_n}是以$-\frac{1}{2}$為公比的等比數列　　　　　　　
（2）${a_n}=2×{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}＜{（-4）^{n-1}}?{（-1）^{n-1}}{2^{2-n}}＜{（-1）^{n-1}}{2^{2n-2}}$，
當n為奇數時，${2^{2-n}}＜{2^{2n-2}}?2-n＜2n-2?n＞\frac{4}{3}$，
當n為偶數時，${2^{2-n}}＞{2^{2n-2}}?2-n＞2n-2?n＜\frac{4}{3}$，此時無解
綜上得正整數n的最小值為3．

點評 本題考查了數列的遞推公式和等差數列的性質以及數列和不等式的關系，考查了學生的運算能力和分類討論的能力，屬于中檔題