Question

在△ABC中，a、b、c分別為內角A、B、C的對邊，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若sinB+sinC=1，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用正弦定理把題設等式中的角的正弦轉化成邊，求得a，b和c關系式，代入余弦定理中求得cosA的值，進而求得A．
（Ⅱ）把（Ⅰ）中a，b和c關系式利用正弦定理轉化成角的正弦，與sinB+sinC=1聯立求得sinB和sinC的值，進而根據C，B的范圍推斷出B=C，可知△ABC是等腰的鈍角三角形．
解答：解：（Ⅰ）由已知，根據正弦定理得2a²=（2b+c）b+（2c+b）c
即a²=b²+c²+bc
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA
故
（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin²A=sin²B+sin²C+sinBsinC．
變形得=（sinB+sinC）-sinBsinC
又sinB+sinC=1，得sinBsinC=
上述兩式聯立得
因為0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，
故B=C=30°
所以△ABC是等腰的鈍角三角形．
點評：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應用．在解三角形問題中一般借助正弦定理和余弦定理邊化角，角化邊達到解題的目的．