Question

z為一元二次方程x²-2x+2=0的根，且 Imz＜0．
（1）求復數z；
（2）若實數a滿足不等式，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意可得：方程x²-2x+2=0的兩個根為1±i（3分）
又因為 Imz＜0，
所以z=1-i（4分）
（2）由得：，（6分）
因為z=1-i，
所以可得：1+（a+1）²≤2（a²+1），（9分）
整理可得：a²-2a≥0，
解得a≤0或 a≥2，
所以a的取值范圍是a≤0或 a≥2（12分）
分析：（1）解方程可得方程的兩個根為1±i，由Imz＜0可得z=1-i．
（2）解對數不等式可得：，即可得到：1+（a+1）²≤2（a²+1），解得a≤0或 a≥2，進而得到a的范圍．
點評：本題主要考查復數的求模公式，以及對數函數的單調性與特殊點，此題綜合性較強，屬于基礎題．