Question

已知函數f(x)=a+

2

x-1

，g(x)=f(2x)
（1）若g（x）是奇函數，求實數a的值；
（2）用定義證明函數g（x）在（-∞，0）上為減函數．

Answer 1

分析：（1）特值法：根據奇函數的性質有g（-1）+g（1）=0，由此可解；
（2）設x₁＜x₂＜0，通過作差比較g（x₁）與g（x₂）的大小，依據減函數定義可證．

解答：解：（1）g（x）=a+

2

2x-1

，g（1）=a+2，g（-1）=a-4，
因為g（x）為奇函數，所以g（1）+g（-1）=0，解得a=1，
經檢驗，a=1時g（x）為奇函數，所以a=1．
（2）g（x）=f（2^x）=a+

2

2x-1

，
設x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，
則g（x₁）-g（x₂）=

2

2x1-1

-

2

2x2-1

=

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

．
因為x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，
所以1＞2x2＞2x1，所以g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂）．
根據函數單調性的定義知函數g（x）在（-∞，0）上為減函數．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性，屬基礎題，定義是解決該類問題的常用方法．