Question

在平面直角坐標系xOy中，設圓C：（x-1）²+（y-2）²=1在矩陣A=

k 0 0 k

 (k＞0)對應的線性變換下得到曲線F所圍圖形的面積為4π，求k的值．

Answer 1

分析：根據矩陣A的變換原理，采用坐標轉移法得到矩陣A將圓C：（x-1）²+（y-2）²=1變成以C'（k，2k）為圓心、半徑為k的圓，由此結合圓的面積公式加以計算，即可得到k的值．

解答：解：設點P（x，y），則點P在矩陣A=

k 0 0 k

 (k＞0)對應的線性變換下得到P（x'，y'）
滿足

x′   y′

=A

x   y

=

kx   ky

，得

x′=kx y′=ky

因此若點P（x，y）在圓C：（x-1）²+（y-2）²=1上，則
點P'（x'，y'）滿足（

x′

k

-1）²+（

y′

k

-2）²=1上，即（x'-k）²+（y'-2k）²=k²
對應以C'（k，2k）為圓心，半徑為k的圓，
得πk²=4，解之得k=2．

點評：本題給出矩陣變換，在圓C變換后面積變為4π的情況下求實數k的值，著重考查了矩陣變換公式和直線與圓的方程等知識，屬于中檔題．