Question

橢圓的兩個焦點分別為F₁（-c，0）和F₂（c，0）（c＞0），過點的直線與橢圓相交于A，B兩點，且．
（1）求橢圓的離心率；
（2）求直線AB的斜率．

Answer 1

解：（1）由得F₁A∥F₂B且|F₁A|=2|F₂B|，
∴F₂是F₁E的中點，從而，整理，得a²=3c²，
∴離心率
（2 ）由（1）得b²=a²-c²=2c²，所以橢圓的方程可寫為2x²+3y²=6c²
設直線AB的方程為，即y=k（x-3c）
由已知設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則它們的坐標滿足方程組
消去y整理，得（2+3k²）x²-18k²cx+27k²c²-6c²=0．
依題意，△=48c²（1-3k²）＞0，∴
而①②
由題設知，點B為線段AE的中點，所以x₁+3c=2x₂③
聯立①③解得，．將x₁，x₂代入②中，解得．
分析：（1）先確定F₂是F₁E的中點，進而可得幾何量之間的關系，即可求得橢圓的離心率；
（2）設直線的方程，代入橢圓方程，利用B為線段AE的中點，結合韋達定理，可求直線AB的斜率．
點評：本題考查橢圓的幾何性質，考查直線的向量，考查向量知識，考查直線與橢圓的位置關系，正確運用韋達定理是關鍵．