Question

（本小題滿分15分）如圖，已知拋物線：，過焦點斜率大于零的直線交拋物線于、兩點，且與其準線交于點．

（Ⅰ）若線段的長為，求直線的方程；

（Ⅱ）在上是否存在點，使得對任意直線，直線，，的斜率始終成等差數列，若存在求點的坐標；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

（1）；（2）存在點或．

【解析】

試題分析：（1）設出直線的方程，與拋物線方程進行聯立，利用弦長公式進行求解；（2）假設存在，利用等差中項和恒成立判定是否有解.

試題解析：（Ⅰ）焦點

∵直線的斜率不為，所以設，

，

由得，

，，

，

，

∴， ∴． ∴直線的斜率，

∵，∴，

∴直線的方程為．

（Ⅱ）設，

，

同理，，

∵直線，，的斜率始終成等差數列，

∴恒成立，

即恒成立． ∴，

把，代入上式，得恒成立，．

∴存在點或，使得對任意直線，

直線，，的斜率始終成等差數列．

考點：1.直線與拋物線的位置關系；2.等差中項.