Question

【題目】《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖，在鱉臑中，平面，，且，過點分別作于點，于點，連接，則三棱錐的體積的最大值為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

由已知可得△AEF、△PEF均為直角三角形，且AF＝2，由基本不等式可得當AE＝EF＝2時，△AEF的面積最大，然后由棱錐體積公式可求得體積最大值．

由PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，

又AB⊥BC，且PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，則BC⊥AE，

又PB⊥AE，則AE⊥平面PBC，

于是AE⊥EF，且AE⊥PC，結合條件AF⊥PC，得PC⊥平面AEF，

∴△AEF、△PEF均為直角三角形，由已知得AF＝2，

而S△AEF＝（AE2+EF2）＝AF2＝2，

當且僅當AE＝EF=2時，取“＝”，此時△AEF的面積最大，

三棱錐P﹣AEF的體積的最大值為：

VP﹣AEF＝＝＝．

故答案為：