Question

已知圓C的方程為x²+(y-4)²=4,點O是坐標原點.直線l:y=kx與圓C交于M,N兩點.

(1)求k的取值范圍.

(2)設Q(m,n)是線段MN上的點,且=+.請將n表示為m的函數.

Answer 1

 (1)將y=kx代入x²+(y-4)²=4中,得(1+k²)x²-8kx+12=0.(*)

由Δ=(-8k)²-4(1+k²)×12>0,得k²>3.

所以,k的取值范圍是(-∞,-)∪(,+∞).

(2)因為M,N在直線l上,可設點M,N的坐標分別為(x₁,kx₁),(x₂,kx₂),則|OM|²=(1+k²),|ON|²=(1+k²),

又|OQ|²=m²+n²=(1+k²)m².

由=+,得

=+,

即=+=.

由(*)式可知,x₁+x₂=,x₁x₂=,

所以m²=.

因為點Q在直線y=kx上,所以k=,代入m²=中并化簡,得5n²-3m²=36.

由m²=及k²>3,可知0<m²<3,

即m∈(-,0)∪(0,).

根據題意,點Q在圓C內,則n>0,

所以n==.

于是,n與m的函數關系為n=

(m∈(-,0)∪(0,)).