Question

 

一個(gè)四棱椎的三視圖如圖所示：

（I）求證：PA⊥BD；

（II）在線段PD上是否存在一點(diǎn)Q，

使二面角Q-AC-D的平面角為

30^o？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

 （I）由三視圖可知P-ABCD為四棱錐，底面ABCD為正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，

連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接PO ．  ……………………………………………3分

因?yàn)?i>BD⊥AC，BD⊥PO，所以BD⊥平面PAC，

即BD⊥PA．…………………………………………………………………………6分

  （II）由三視圖可知，BC＝2，PA＝2，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)Q，

因?yàn)?i>AC⊥OQ，AC⊥OD，

所以∠DOQ為二面角Q-AC-D的平面角，  ……………………………………8分

在△POD中，PD＝2，OD＝，則∠PDO＝60^o，

在△DQO中，∠PDO＝60^o，且∠QOD＝30^o．所以DP⊥OQ．  ……………10分

所以OD＝，QD＝．

所以． …………………………………………12分