Question

定義在上的函數同時滿足以下條件：

① 在上是減函數，在上是增函數； ② 是偶函數；

③ 在處的切線與直線垂直.

（1）求函數的解析式；

（2）設，若存在，使，求實數的取值范圍

 

Answer 1

【答案】

（1）即

（2）

【解析】(1)要求a,b,c.需要根據條件建立三個關于a,b,c的方程，恒成立，,得到三個方程解方程組可求出a,b,c的值。

（2），若存在，使轉化為:若存在，使，即存在，使.然后設，利用導數求出其最大值即可。

解：（1），

∵ 在上是減函數，在上是增函數，

∴，           ()   ……………………1分

由是偶函數得：，                 …………………2分

又在處的切線與直線垂直，，                          ……………………3分

代入()得：即.    …………………4分

（2）由已知得：若存在，使，即存在，使.

設，

則，                …………………6分

令＝0，∵，∴，       …………………7分

當時，，∴在上為減函數，

當時，，∴在上為增函數，

∴在上有最大值.                 ……………………9分

又，∴最小值為. … 11分

于是有為所求.