Question

已知f（x）=xe^x，g（x）=-（x+1）²+a，若?x₁，x₂∈R，使得f（x₂）≤g（x₁）成立，則實數a的取值范圍是

a≥-

1

e

．

Answer 1

分析：?x₁，x₂∈R，使得f（x₂）≤g（x₁）成立，等價于f（x）_min≤g（x）_max，利用導數可求得f（x）的最小值，根據二次函數的性質可求得g（x）的最大值，代入上述不等式即可求得答案．

解答：解：?x₁，x₂∈R，使得f（x₂）≤g（x₁）成立，等價于f（x）_min≤g（x）_max，
f′（x）=e^x+xe^x=（1+x）e^x，
當x＜-1時，f′（x）＜0，f（x）遞減，當x＞-1時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
所以當x=-1時，f（x）取得最小值f（x）_min=f（-1）=-

1

e

；
當x=-1時g（x）取得最大值為g（x）_max=g（-1）=a，
所以-

1

e

≤a，即實數a的取值范圍是a≥-

1

e

．
故答案為：a≥-

1

e

．

點評：本題考查二次函數的性質及利用導數求函數的最值，考查“能成立”問題的處理方法，解決該題的關鍵是把問題轉化為求函數的最值問題解決．