Question

（2012•虹口區三模）設

a

，

b

為二個非零向量，且|

a

+

b

|=2，|

a

-

b

|=2，則|

a

|+|

b

|的最大值是

2

2

．

Answer 1

分析：根據向量數量積的性質和模的定義，將已知兩個等式兩邊平方再相加，得2

|a|

2+2

|b|

2 =8，再利用基本不等式，即可求出|

a

|+|

b

|的最大值．

解答：解：∵|

a

+

b

|=2，|

a

-

b

|=2，
∴

|a

+

b|

 2=

|a|

2+2

a

•

b

+

|b|

2 =4，…①
且

|a

-

b|

 2=

|a|

2-2

a

•

b

+

|b|

2 =4，…②
①+②，得2

|a|

2+2

|b|

2 =8，
根據基本不等式，得（|

a

|+|

b

|）²≤2

|a|

2+2

|b|

2 =8，
∴當且僅當|

a

|=|

b

|=

2

時，|

a

|+|

b

|的最大值是

8

=2

2

故答案為：2

2

點評：本題給出兩個非零向量的和與差的長度，求它們長度之和的最大值，著重考查了平面向量數量積的運算性質和基本不等式等知識點，屬于基礎題．