Question

（2012•虹口區三模）如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為DD₁、DB的中點．
（Ⅰ）求證：CF⊥B₁E；
（Ⅱ）求三棱錐VB1-EFC的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，欲證線線垂直，可先證出CF⊥平面BB₁D₁D，再由線面垂直的性質證明CF⊥B₁E即可；
（Ⅱ）由題意，可先證明出CF⊥平面BDD₁B₁，由此得出三棱錐的高，再求出底面△B₁EF的面積，然后再由棱錐的體積公式即可求得體積．

解答：解：（I）E、F分別為D₁D，DB的中點，
則CF⊥BD，又CF⊥D₁D
∴CF⊥平面BB₁D₁D，∴CF⊥B₁E
（II）∵CF⊥平面BDD₁B₁，
∴CF⊥平面EFB₁，CF=BF=

2

，
∵EF=

1

2

BD1=

3

，B1F=

BF2+BB12

=

( 2 )2+22

=

6

，B1E=

B1D12+D1E2

=

12+(2 2 )2

=3
∴EF2+B1F2=B1E2，即∠EFB₁=90°，
∴VB1-EFC=VC-B1EF=

1

3

•S△B1EF•CF=

1

3

×

1

2

×

3

×

6

×

2

=1．

點評：本題考查線面垂直的性質定理與線面垂直的判定定理及錐體的體積的求法，考查了空間感知能力及判斷推理的能力，解題的關鍵是熟練掌握相關的定理及公式，本題是立體幾何中的常規題題型，難度不大，計算麻煩．