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已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),對于x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,且f(-4)=-2,當(dāng)x1,x2∈[0,3],且x1≠x2時,都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>0.則給出下列命題:
(1)f(2008)=-2;
(2)函數(shù)y=f(x)圖象的一條對稱由為x=-6; 
(3)函數(shù)y=f(x)在[-9,-6]上為減函數(shù);
(4)方程f(x)=0在[-9,9]上有4個根;
其中正確的命題個數(shù)為(  )
分析:(1)、賦值x=-3,又因為f(x)是R上的偶函數(shù),f(3)=0,則函數(shù)f(x)為周期是6的函數(shù),所以f(2008)=f(4),故f(2008)=-2;
(2)、f(x)是R上的偶函數(shù),所以f(x+6)=f(-x),又因為f (x+6)=f (x),得周期為6,從而f(-6-x)=f(-6+x),所以直線x=-6是函數(shù)y=f(x)的圖象的一條對稱軸;
(3)、有單調(diào)性定義知函數(shù)y=f(x)在[0,3]上為增函數(shù),f(x)的周期為6,所以函數(shù)y=f(x)在[-9,-6]上為減函數(shù);
(4)、f(3)=0,f(x)的周期為6,所以:f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0.
解答:解:①:對于任意x∈R,都有f (x+6)=f (x)+f (3)成立,令x=-3,則f(-3+6)=f(-3)+f (3),
又因為f(x)是R上的偶函數(shù),所以f(3)=0.所以f(2008)=f(4)=f(-4),
又由f(-4)=-2,故f(2008)=-2;故①正確
②:由(1)知f (x+6)=f (x),所以f(x)的周期為6,
又因為f(x)是R上的偶函數(shù),所以f(x+6)=f(-x),
而f(x)的周期為6,所以f(x+6)=f(-6+x),f(-x)=f(-x-6),
所以:f(-6-x)=f(-6+x),所以直線x=-6是函數(shù)y=f(x)的圖象的一條對稱軸.故②正確
③:當(dāng)x1,x2∈[0,3],且x1≠x2時,都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>0
所以函數(shù)y=f(x)在[0,3]上為增函數(shù),
因為f(x)是R上的偶函數(shù),所以函數(shù)y=f(x)在[-3,0]上為減函數(shù)
而f(x)的周期為6,所以函數(shù)y=f(x)在[-9,-6]上為減函數(shù).故③正確
④:f(3)=0,f(x)的周期為6,
所以:f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0
函數(shù)y=f(x)在[-9,9]上有四個零點.故④正確
故答案為:D.
點評:本題重點考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,用到了單調(diào)性,周期性,奇偶性,對稱軸還有賦值法求函數(shù)值.
練習(xí)冊系列答案
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-x(1+x)
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[-3,3]
[-3,3]

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(1,3]
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同步練習(xí)冊答案
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