Question

設f(x)=

a

•

b

．其中向量

a

=(

2

sinωx，

2

cosωx+1)，

b

=(

2

cosωx，

2

cosωx-1)
（1）當ω=1，x∈(0，

π

2

)時，求函數f（x）的值域；
（2）當ω=-1時，求函數f（x）的單調遞減區間．

Answer 1

分析：（1）根據向量數量積的坐標公式，可得f（x）=

a

•

b

=

2

sin(2ωx+

π

4

)，由ω=1，x∈(0，

π

2

)，求出相位角的取值范圍，結合正弦型函數的圖象和性質，可得函數f（x）的值域；
（2）當ω=-1時，函數f（x）=-

2

sin(2x-

π

4

)，則函數f（x）的單調遞減區間即求f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)的單調遞增區間，由正弦函數的單調性，構造不等式，解不等式可得函數f（x）的單調遞減區間．

解答：解：∵

a

=(

2

sinωx，

2

cosωx+1)，

b

=(

2

cosωx，

2

cosωx-1)
∴f（x）=

a

•

b

=2sinωxcosωx+2cos²ωx-1=sin2ωx+cos2ωx
=

2

sin(2ωx+

π

4

)…（3分）
（1）當ω=1時，f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)
∵x∈(0，

π

2

)，∴

π

4

＜2x+

π

4

＜

5π

4

，-

2

2

＜sin(2x+

π

4

)≤1，
∴-1＜f(x)≤

2

，函數f（x）的值域是(-1，

2

]．…（7分）
當ω=-1時，f(x)=

2

sin(-2x+

π

4

)=-

2

sin(2x-

π

4

)
求函數f（x）的單調遞減區間即求f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)的單調遞增區間
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z
∴當ω=-1時，函數f（x）的單調遞減區間是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z．…（12分）

點評：本題考查的知識點是平面向量的數量積的運算，兩角和與差的正弦函數，正弦函數的圖象和性質，熟練掌握正弦函數的圖象和性質，是解答的關鍵．