Question

已知向量

a

=(

3

sinwx，coswx)， 

b

=(coswx，coswx)，（其中w＞0）．設(shè)f(x)=

a

•

b

，且f（x）的最小正周期為π．
（1）求w；
（2）若0＜x≤

π

3

，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意并且結(jié)合三角的有關(guān)公式可得：f（x）=sin(2wx+

π

6

)+

1

2

，再結(jié)合周期的計算公式可得答案．
（2）由0＜x≤

π

3

可得

π

6

＜2x+

π

6

≤

5

6

π，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得到答案．

解答：解：（1）因為f(x)=

a

•

b

，并且

a

=(

3

sinwx，coswx)，

b

=(coswx，coswx)，
所以f(x)=

3

sinwx•coswx+cos2wx=

3

2

sin2wx+

1

2

(1+cos2wx)=sin(2wx+

π

6

)+

1

2

所以結(jié)合周期的計算公式可得：T=π=

2π

2w

，即w=1．
（2）由（1）得：f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

∵0＜x≤

π

3

∴

π

6

＜2x+

π

6

≤

5

6

π
∴

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
∴f（x）的值域為[1，

3

2

]．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握平面向量的數(shù)量積運算與兩角和的正弦公式、二倍角公式，以及三角函數(shù)的周期公式與三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，此題綜合性較強屬于中檔題型，此類型的題也是高考命題的熱點之一．